问题 设 $(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})$ 是来自下列总体的简单样本,

$$ p(x, \theta)=\left\{\begin{array}{l} 1, \theta-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \theta+\frac{1}{2}, \quad-\infty<\theta<\infty, \\ 0, \text { 其他, } \end{array}\right. $$

证明样本均值 $\bar{x}$ 及 $\frac{1}{2}(x_{(1)}+x_{(n)})$ 都是 $\theta$ 的无偏估计, 问何者更有效? ## 答案 已知 $X \sim U(\theta - \tfrac{1}{2}, \theta + \tfrac{1}{2})$，这是一个在区间 $[\theta - \tfrac{1}{2}, \theta + \tfrac{1}{2}]$ 上的连续均匀分布。 1. 样本均值 $\bar{X}$ 的无偏性： $X$ 的期望值和方差为：

$$ E(X) = \theta, \quad \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{12}. $$

由于样本均值 $\bar{X}$ 是独立同分布(i.i.d.)随机变量 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 的平均值，我们有： $$ E(\bar{X}) = E\left( \frac{1}{n}

… Content truncated. Please enter passkey to view full content.