问题 设 $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 服从均匀分布 $U(0, \theta)$, 试证 $\frac{4}{3} x_{(3)}$ 及 $4 x_{(1)}$ 都是 $\theta$ 的无偏估计, 哪个更有效? ## 答案 令 $x_1, x_2, x_3$ 为独立同分布的均匀分布 $U(0, \theta)$ 随机变量。我们将证明 $\frac{4}{3} x_{(3)}$ 和 $4 x_{(1)}$ 都是 $\theta$ 的无偏估计量，并确定哪一个更有效。 顺序统计量的密度函数： 对于来自 $U(0, \theta)$ 的样本容量为 $n = 3$ 的样本，最小和最大顺序统计量 $x_{(1)}$ 和 $x_{(3)}$ 的概率密度函数（PDF）为： $$ \begin{aligned} f_{x_{(1)}}(x) &= n \left( 1 - \frac{x}{\theta} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{\theta} = 3 \left( 1 - \frac{x}{\theta} \right)^{2} \cdot \frac{1}{\theta} = \frac{3}{\theta^{3}} (\theta - x)^{2}, \quad 0 < x < \theta, \ f_{x_{(3)}}(x) &= n \left( \frac{x}{\theta} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{\theta} = 3 \left( \frac{x}{\theta} \right)^{2} \cdot \frac{1}{\theta}

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