问题 设从均值为 $\mu$, 方差为 $\sigma^{2}>0$ 的总体中分别抽取容量为 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ 的两独立样本, $\bar{x}_{1}$ 和 $\bar{x}_{2}$ 分别是这两个样本的均值. 试证, 对于任意常数 $a, b(a+b=1)$, $Y=a \bar{x}_{1}+b \bar{x}_{2}$ 都是 $\mu$ 的无偏估计, 并确定常数 $a, b$ 使 $\operatorname{Var}(Y)$ 达到最小. ## 答案 由于 $\bar{x}_1$ 和 $\bar{x}_2$ 分别是容量为 $n_1$ 和 $n_2$ 的两个独立样本的均值，且来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$，因此：

$$ E(\bar{x}_1) = \mu,\quad E(\bar{x}_2) = \mu,\quad \operatorname{Var}(\bar{x}_1) = \frac{\sigma^2}{n_1},\quad \operatorname{Var}(\bar{x}_2) = \frac{\sigma^2}{n_2}. $$

对于任意常数 $a, b$ 满足 $a + b = 1$，定义 $Y

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