问题 设总体 $(X)$ 的均值为 $\mu$, 方差为 $\sigma^{2}, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 是来自该总体的一个样本, $T(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})$ 为 $\mu$的任一线性无偏估计量. 证明: $\bar{x}$ 与 $T$ 的相关系数为 $\sqrt{\operatorname{Var}(\bar{x}) / \operatorname{Var}(T)}$. ## 答案 证明： 由于 $T(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 是 $\mu$ 的一个凸线性无偏估计量，它可以表示为观测值的线性组合：

$$ T = l_1 x_1 + l_2 x_2 + \dots + l_n x_n, $$

其中每个系数 $l_i \geq 0$（由凸性得到）且 $\sum_{i=1}^n l_i

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