问题 设有 $k$ 台仪器, 已知用第 $i$ 台仪器测量的标准差为 $\sigma_{i}(i=1,2, \cdots, k)$. 用这些仪器独立地对某一物理量 $\theta$ 各观察一次, 分别得到 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}$, 设仪器都没有系统偏差. 问 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ 应取何值, 方能使 $\hat{\theta}=\sum_{i=1}^{k} a_{i} x_{i}$ 成为 $\theta$ 的无偏估计, 且方差达到最小? ## 答案 要使估计量 $\hat{\theta} = \sum_{i=1}^{k} a_{i} x_{i}$ 成为 $\theta$ 的无偏估计，需要满足：

$$ E(\hat{\theta}) = E\left( \sum_{i=1}^{k} a_{i} x_{i} \right) = \sum_{i=1}^{k} a_{i} E(x_{i}) $$

由于仪器无系统误差，$E(x_{i}) = \theta$，因此： $$ E(\hat{\theta}) = \sum_{i=1}^{k}

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