问题 设总体分布列如下,$x_1,x_2,\cdots,x_n$是样本,试求未知参数的矩估计: 1. $P(X=k)=\frac{1}{N}, k=0,1,2,\cdots,N-1, N$(正整数)是未知参数; 2. $P(X=k)=(k-1)\theta^2(1-\theta)^{k-2}, k=2,3,\cdots, 0<\theta<1$. ## 答案 (1) 对于随机变量 $X$ 的分布 $P(X = k) = \dfrac{1}{N}, \quad k = 0, 1, \dots, N - 1$，其中 $N$ 是未知的正整数参数。 首先，注意到 $X$ 服从在 $0$ 到 $N - 1$ 之间的离散均匀分布，每个取值的概率都是 $\dfrac{1}{N}$。验证总概率为 1：

$$ \sum_{k=0}^{N - 1} P(X = k) = N \times \dfrac{1}{N} = 1 $$

计算总体的数学期望： $$ \begin{aligned} E(X) &= \sum_{k=0}^{N - 1} k \cdot P(X = k) = \sum_{k=0}^{N

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