问题 设总体密度函数如下,$x_1,x_2,\cdots,x_n$是样本,试求未知参数的矩估计: 1. $p(x;\theta)=\frac{2}{\theta^2}(\theta-x), 00$; 2. $p(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta, 00$; 3. $p(x;\theta)=\sqrt{\theta}x^{\sqrt{\theta}-1}, 00$; 4. $p(x;\theta,\mu)=\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x-\mu}{\theta}}, x>\mu, \theta>0$. ## 答案 (1) 求未知参数 $\theta$ 的矩估计。 给定概率密度函数：

$$ p(x; \theta) = \dfrac{2}{\theta^2} (\theta - x), \quad 0 < x < \theta, \theta > 0 $$

计算总体均值 $E(X)$：

$$ \begin{aligned} E(X) &= \int_{0}^{\theta} x \cdot \dfrac{2}{\theta^2} (\theta - x) \, \mathrm{d}x \\ &= \dfrac{2}{\theta^2} \left[ \dfrac{\theta x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3} \right]_0^{\theta} \\ &= \dfrac{\theta}{3} \end{aligned} $$

因此，$\theta = 3 E(X)$。用样本均值$\bar{x}$估计$E(X)$，则参数$\theta$的矩估计为：

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