问题 为了估计湖中有多少条鱼，从中捞出1000条，标上记号后放回湖中，然后再捞出150条鱼发现其中有10条鱼有记号。问湖中有多少条鱼，才能使150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率最大? ## 答案 设湖中鱼的总数为 $(N)$（未知参数），第一次标记的鱼的数量为 $(M = 1000)$，第二次捕捞的鱼的数量为 $(n = 150)$，其中带有标记的鱼的数量为 $(X = 10)$。 由于捕捞不放回，$(X)$ 服从参数为 $(N)$、$(M = 1000)$、$(n = 150)$ 的超几何分布，其概率质量函数为：

$$ P(X = k) = \frac{\dbinom{M}{k} \dbinom{N - M}{n - k}}{\dbinom{N}{n}} $$

因此，当 $(X = 10)$ 时，有：

$$ P(X = 10) = \frac{\dbinom{1000}{10} \dbinom{N - 1000}{140}}{\dbinom{N}{150}} $$

将其视为

… Content truncated. Please enter passkey to view full content.