问题 设总体概率函数如下, $x_1,x_2,\cdots,x_n$是样本,试求未知参数的最大似然估计. 1. $p(x;\theta)=\sqrt{\theta}x^{\sqrt{\theta}-1}, 00$; 2. $p(x;\theta)=\theta c^\theta x^{-(\theta+1)}, x>c, c>0$已知, $\theta>1$. ## 答案 (1) 求参数 $\theta$ 的最大似然估计 给定样本 $x_1, x_2, \dots, x_n$，来自概率密度函数

$$ p(x; \theta) = \sqrt{\theta} \, x^{\sqrt{\theta} - 1}, \quad 0 < x < 1,\ \theta > 0. $$

(a) 构造似然函数： 样本的联合概率密度函数（似然函数）为 $$ L(\theta) = \prod_{i=1}^n p(x_i; \theta) = \left( \sqrt{\theta} \right)^n \left( \prod_{i=1}^n

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