问题 在遗传学研究中经常要从截尾二项分布中抽样,其总体概率函数为

$$ P(X=k;p)=\frac{\binom{m}{k}p^k(1-p)^{m-k}}{1-(1-p)^m}, \quad k=1,2,\cdots,m $$

若已知$m=2, x_1,x_2,\cdots,x_n$是样本,试求$p$的最大似然估计. ## 答案 当 $m = 2$ 时，截尾二项分布的可能取值为 $x = 1, 2$。设样本 $x_{1}, x_{2}, \dotsc, x_{n}$ 中有 $n_{1}$ 个观测值为 1，$n - n_{1}$ 个观测值为 2。 截尾二项分布的概率函数为：

$$ P(X = x; p) = \frac{\dbinom{2}{x} p^{x} (1 - p)^{2 - x}}{1 - (1 - p)^{2}}, \quad x = 1, 2 $$

首先计算分母： $$ 1 - (1 - p)^{2} = 1 - (1 - 2p + p^{2}) = 2p -

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