问题 设总体$X\sim U(\theta,2\theta)$,其中$\theta>0$是未知参数,$x_1,x_2,\cdots,x_n$为取自该总体的样本,$\bar{x}$为样本均值. 1. 证明$\hat{\theta}=\frac{2}{3}\bar{x}$是参数$\theta$的无偏估计和相合估计; 2. 求$\theta$的最大似然估计,它是无偏估计吗?是相合估计吗? ## 答案 (1) 由于总体 $X \sim U(\theta, 2\theta)$，其中 $\theta > 0$ 是未知参数。 首先，求出 $X$ 的数学期望和方差： $E(X) = \frac{\theta + 2\theta}{2} = \frac{3\theta}{2}$, $\operatorname{Var}(X) = \frac{(2\theta - \theta)^2}{12} = \frac{\theta^2}{12}$ 因为样本 $x_1, x_2,

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