问题 设$x_1,x_2,\cdots,x_n$是来自密度函数为$p(x;\theta)=e^{-(x-\theta)}, x>\theta$的总体的样本. 1. 求$\theta$的最大似然估计$\hat{\theta}_1$,它是否是相合估计?是否是无偏估计? 2. 求$\theta$的矩估计$\hat{\theta}_2$，它是否是相合估计？是否是无偏估计? ## 答案 (1) 最大似然估计 给定样本 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ 来自密度函数：

$$p(x; \theta) = e^{-(x - \theta)}, \quad x > \theta$$

似然函数为： $$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} e^{-(x_{i} - \theta)} I_{[x_{i} > \theta]} = e^{ -\sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \theta) }

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