问题 设$x_1,x_2,\cdots,x_n$是来自$Ga(\alpha,\lambda)$的样本，$\alpha>0$已知，试证明，$\bar{x}/\alpha$是$g(\lambda)=1/\lambda$的有效估计，从而也是UMVUE. ## 答案 由于总体 $X \sim \mathrm{Ga}(\alpha, \lambda)$，已知形参数 $\alpha > 0$。 Gamma 分布的概率密度函数为：

$$ p(x; \lambda) = \frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{- \lambda x}, \quad x > 0. $$

首先，计算关于参数 $\lambda$ 的对数似然函数及其一、二阶导数： $$ \ln p(x; \lambda) = \alpha \ln \lambda - \ln \Gamma(\alpha) + (\alpha - 1) \ln x -

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