问题 设$x_1,x_2,\cdots,x_m$ i.i.d. $\sim N(a,\sigma^2)$, $y_1,y_2,\cdots,y_n$ i.i.d. $\sim N(a,2\sigma^2)$, 求$a$和$\sigma^2$的UMVUE. ## 答案 为了求参数 $a$ 和 $\sigma^2$ 的 UMVUE（Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimators），首先考虑观测数据 $\{x_1, \dots, x_m, y_1, \dots, y_n\}$ 的联合密度函数。 由于 $x_i \sim N(a, \sigma^2)$，$y_j \sim N(a, 2\sigma^2)$，且相互独立，所以联合密度函数为 $$ \begin{aligned} &p(x_1, \dots, x_m, y_1, \dots, y_n; a, \sigma^2) \ &= \prod_{i=1}^m \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left{ -\frac{(x_i - a)^2}{2\sigma^2} \right} \times \prod_{j=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}\sigma} \exp\left{ -\frac{(y_j - a)^2}{2 \times

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