问题 设$x_1,x_2,\cdots,x_n$ i.i.d. $\sim N(\mu,1)$, 求$\mu^2$的UMVUE. 证明此UMVUE达不到C-R不等式的下界,即它不是有效估计。 ## 答案 设随机变量 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 独立同分布于 $N( \mu, 1 )$，其中 $\mu$ 是未知参数。 1. 求 $\mu^2$ 的 UMVUE（均方误差最小无偏估计）： 由于方差已知，样本均值 $\bar{X} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 是参数 $\mu$ 的充分且完备统计量。根据 Lehmann–Scheffé 定理，任何关于 $\bar{X}$ 的 $\mu^2$ 的无偏估计都是 $\mu^2$ 的唯一 UMVUE。 首先，计算 $E( \bar{X}^2 )$：

$$ E( \bar{X}^2 ) = \operatorname{Var}( \bar{X} ) + [ E( \bar{X} ) ]^2 = \dfrac{1}{n} + \mu^2 $$

因此，

$$ E\left( \bar{X}^2 - \dfrac{1}{n} \right) = \mu^2 $$

所以，估计量

$$ T = \bar{X}^2 - \dfrac{1}{n} $$

是 $\mu^2$ 的无偏估计。由于 $T$ 是充分且完备统计量 $\bar{X}$ 的函数，因此 $T$ 是 $\mu^2$

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