问题 对泊松分布$P(\theta)$。 1. 求$I(1/\theta)$； 2. 找一个函数$g(\cdot)$，使$g(\theta)$的费希尔信息量与$\theta$无关。 ## 答案 (1) 我们首先计算随机样本关于参数 $\theta$ 的费希尔信息量 $I(\theta)$。 对于泊松分布 $\mathrm{P}(\theta)$，概率质量函数为：

$$ P(Y = y) = \frac{e^{-\theta} \theta^y}{y!}, \quad y = 0, 1, 2, \dots $$

计算对数似然函数：

$$ \ell(\theta) = -\theta + y \ln \theta - \ln y! $$

对 $\theta$ 求一阶导数：

$$ \frac{\partial \ell(\theta)}{\partial \theta} = -1 + \frac{y}{\theta} $$

计算二阶导数：

$$ \frac{\partial^2 \ell(\theta)}{\partial \theta^2} = -\frac{y}{\theta^2} $$

… Content truncated. Please enter passkey to view full content.