问题 设$x_1,x_2,\cdots,x_n$为独立同分布变量, $0<\theta<1$,

$$ P(x_1=-1)=\frac{1-\theta}{2}, \quad P(x_1=0)=\frac{1}{2}, \quad P(x_1=1)=\frac{\theta}{2}. $$

1. 求$\theta$的最大似然估计$\hat{\theta}_1$; 2. 求$\theta$的矩估计$\hat{\theta}_2$； 3. 计算$\theta$的无偏估计的方差的C-R下界. ## 答案 (1) 最大似然估计 (MLE)： $x_i$ 的概率质量函数(pmf)为：

$$ P(x_i) = \begin{cases} \dfrac{1 - \theta}{2}, & x_i = -1, \\ \dfrac{1}{2}, & x_i = 0, \\ \dfrac{\theta}{2}, & x_i = 1. \end{cases} $$

似然函数为：

$$ L(\theta) = \prod_{i=1}^n P(x_i) = \left( \dfrac{1 - \theta}{2} \right)^{n_{-1}} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n_0} \left( \dfrac{\theta}{2} \right)^{n_1} $$

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