问题 设总体$X\sim \operatorname{Exp}(1/\theta)$, $x_1,x_2,\cdots,x_n$是样本, $\theta$的矩估计和最大似然估计都是$\bar{x}$, 它也是$\theta$的相合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于$\bar{x}$的估计（提示：考虑$\hat{\theta}_a=a\bar{x}$，找均方误差最小者）。 ## 答案 令 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是来自指数分布 $X \sim \operatorname{Exp}(1/\theta)$ 的样本。 由于 $X \sim \operatorname{Exp}(1/\theta)$，则：

$$ E(X) = \theta, \quad \operatorname{Var}(X) = \theta^2. $$

因此，对于样本均值 $\bar{X}$：

$$ E(\bar{X}) = \theta, \quad \operatorname{Var}(\bar{X}) = \frac{\theta^2}{n}. $$

考虑估计量 $\hat{\theta}_a = a \bar{X}$，其中 $a$ 为常数。 则有：

$$ E(\hat{\theta}_a) = a E(\bar{X}) = a \theta, $$

$$ \operatorname{Var}(\hat{\theta}_a) = a^2 \operatorname{Var}(\bar{X}) = a^2 \frac{\theta^2}{n}. $$

因此，估计量的均方误差为： $$ \begin{aligned} \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_a)

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