问题 设总体概率函数是$p(x;\theta)$, $x_1,x_2,\cdots,x_n$是其样本, $T=T(x_1,x_2,\cdots,x_n)$是$\theta$的充分统计量, 则对$g(\theta)$的任一估计$\hat{g}$，令$\tilde{g}=E(\hat{g}|T)$，证明：$\operatorname{MSE}(\widetilde{g}) \leqslant \operatorname{MSE}(\hat{g})$。这说明，在均方误差准则下，人们只需要考虑基于充分统计量的估计。 ## 答案 证明： 设 $T=T(x_1, \dotsc, x_n)$ 是参数 $\theta$ 的充分统计量，$\hat{g}$ 是 $g(\theta)$ 的任意估计量，定义

$$ \tilde{g} = E(\hat{g} \mid T), $$

即 $\tilde{g}$ 是在给定充分统计量 $T$ 的条件下，对 $\hat{g}$ 的条件均值。 要证明 $\operatorname{MSE}(\tilde{g}) \leq \operatorname{MSE}(\hat{g})$，其中均方误差 $\operatorname{MSE}$ 定义为

$$ \operatorname{MSE}(\hat{g}) = E\left[(\hat{g} - g(\theta))^2\right]. $$

首先，对 $\operatorname{MSE}(\hat{g})$ 进行分解： $$ \begin{aligned} \operatorname{MSE}(\hat{g}) &= E\left[(\hat{g} -

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