问题 设总体密度函数为$p(x;\theta)=\theta x^{\theta-1}, 00$, $x_1,x_2,\cdots,x_n$是样本. 1. 求$g(\theta)=1/\theta$的最大似然估计; 2. 求$g(\theta)$的有效估计. ## 答案 (1) 由于样本来自密度函数 $p(x; \theta) = \theta x^{\theta - 1}$，其中 $0 < x < 1$，$\theta > 0$，其似然函数为

$$ L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \theta x_i^{\theta - 1} = \theta^n \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\theta - 1}. $$

取对数，得到对数似然函数：

$$ \ln L(\theta) = n \ln \theta + (\theta - 1) \sum_{i=1}^n \ln x_i. $$

由于 $g(\theta) = \dfrac{1}{\theta}$，所以 $\theta = \dfrac{1}{g(\theta)}$，$\ln \theta = - \ln g(\theta)$。 将对数似然函数表示为关于 $g(\theta)$ 的函数：

$$ \ln L(\theta) = - n \ln g(\theta) + \left( \dfrac{1}{g(\theta)} - 1 \right) \sum_{i=1}^n \ln x_i. $$

对 $g(\theta)$

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