问题 设总体分布列为$P(X=x)=(x-1)\theta^2(1-\theta)^{x-2}, x=2,3,\cdots, 0<\theta<1$, 求$\theta$的费希尔信息量$I(\theta)$. ## 答案 首先，给定随机变量 $X$ 的概率分布为

$$ P_{\theta}(X = x) = (x - 1) \theta^{2} (1 - \theta)^{x - 2}, \quad x = 2, 3, \dotsc, \quad 0 < \theta < 1. $$

我们需要求参数 $\theta$ 的费舍尔信息量 $I(\theta)$。 1. 求对数似然函数及其一、二阶导数 对数概率密度函数为：

$$ \ln P_{\theta}(X = x) = \ln (x - 1) + 2 \ln \theta + (x - 2) \ln (1 - \theta). $$

对 $\theta$ 求一阶导数： $$

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