问题 设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 为来自如下幂级数分布的样本, 总体分布密度为

$$p(x_{1} ; c, \theta)=c x_{1}^{c-1} \theta^{-c} I\{0 \leqslant x_{1} \leqslant \theta\} \quad(c>0, \theta>0)$$

证明： 1. 若 $c$ 已知，则 $\theta$ 的共轭先验分布为帕累托分布； 2. 若 $\theta$ 已知, 则 $c$ 的共轭先验分布为伽马分布. ## 答案 (1) 当 $c$ 已知时，我们希望找到 $\theta$ 的共轭先验分布。为了证明帕累托分布是 $\theta$ 的共轭先验分布，我们假设先验分布为：

$$\pi(\theta) = \alpha \mu^{\alpha} \theta^{-(\alpha+1)} I\{ \theta \geqslant \mu \}, \quad \text{即} \ \theta \sim \text{Pareto}(\alpha, \mu)$$

其中 $\alpha \geqslant 1$ 和 $\mu > 0$ 为已知常数。 观察到样本 $x = (x_1, \cdots, x_n)$ 后，后验分布为：

$$\pi(\theta \mid x) = \dfrac{ p(x \mid \theta)\, \pi(\theta) }{ \int_{0}^{\infty} p(x \mid \theta)\, \pi(\theta)\, \mathrm{d}\theta }$$

由于样本来自密度函数 $p(x; c, \theta) = c x^{c-1} \theta^{-c} I\{ 0 \leqslant x \leqslant \theta \}$，则似然函数为：

$$p(x \mid \theta) = \prod_{i=1}^{n} p(x_i \mid \theta) = c^n \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{c-1} \theta^{-n c} I\{ \theta \geqslant x_{(n)} \}$$

其中 $x_{(n)} = \max\{ x_i \}$。 因此，后验分布为： $$\begin{aligned} \pi(\theta \mid x) & = \dfrac{ c^n \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{c-1} \theta^{-n c} I{ \theta

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