问题 某人每天早上在汽车站等公共汽车的时间（单位：$\min$）服从均匀分布 $U(0, \theta)$ ，其中 $\theta$ 未知，假设 $\theta$ 的先验分布为

$$ \pi(\theta)= \begin{cases}192 / \theta^{4} & \theta \geqslant 4 \\ 0, & \theta<4\end{cases} $$

假如此人在三个早上等车的时间分别为 $5,3,8 \mathrm{~min}$, 求 $\theta$ 的后验分布. ## 答案 解答： 已知某人每天早上等车时间 $X$ 服从均匀分布 $U(0, \theta)$，其中 $\theta$ 未知，且其先验分布为：

$$ \pi(\theta) = \begin{cases} \dfrac{192}{\theta^4}, & \theta \geq 4, \\ 0, & \theta < 4. \end{cases} $$

现在，观测到三天的等车时间分别为 $x_1 = 5$, $x_2 = 3$, $x_3 = 8$。要求求出 $\theta$ 的后验分布。 第一步：写出似然函数 对于均匀分布 $U(0, \theta)$，观测值在 $[0, \theta]$ 上均匀分布，因此对于每个观测值，概率密度函数为： $$ f(x_i \mid

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