问题 设随机变量 $X$ 服从负二项分布, 其概率分布为

$$ f(x \mid p)=\binom{x-1}{k-1} p^{k}(1-p)^{x-k}, \quad x=k, k+1, \cdots $$

证明其成功概率 $p$ 的共轭先验分布族为贝塔分布族。 ## 答案 证明： 设成功次数为 $k$ 的负二项分布，其概率质量函数为

$$ f(x \mid p) = \binom{x-1}{k-1} p^{k}(1-p)^{x - k}, \quad x = k, k+1, \dots $$

取成功概率 $p$ 的先验分布为贝塔分布 $\operatorname{Beta}(a, b)$，即 $$ \pi(p) = \frac{\Gamma(a

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