问题 设总体为均匀分布 $U(\theta, \theta+1)$, $\theta$ 的先验分布是均匀分布 $U(10,16)$. 现有三个观测值: 11.7, $12.1,12.0$. 求 $\theta$ 的后验分布. ## 答案 给定观测值 $x_1 = 11.7$、$x_2 = 12.1$ 和 $x_3 = 12.0$，我们按如下步骤求解 $\theta$ 的后验分布： 首先，注意到每个观测值 $X_i$ 服从均匀分布 $U(\theta, \theta+1)$，因此概率密度函数为：

$$ f_{X_i}(x_i \mid \theta) = \begin{cases} \frac{1}{1} = 1, & \text{如果 } \theta \leq x_i \leq \theta + 1, \\ 0, & \text{其他情况}. \end{cases} $$

由于给定 $\theta$ 时，$X_i$ 是独立的，联合似然函数为： $$ L(\theta) = \prod_{i=1}^{3} f_{X_i}(x_i \mid \theta) =

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