问题 设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 是来自几何分布的样本, 总体分布列为

$$ P(X=k \mid \theta)=\theta(1-\theta)^{k}, \quad k=0,1,2, \cdots $$

$\theta$ 的先验分布是均匀分布 $U(0,1)$ 。 1. 求 $\theta$ 的后验分布; 2. 若 4 次观测值为 $4,3,1,6$, 求 $\theta$ 的贝叶斯估计. ## 答案 (1) 先写出先验分布和似然函数： 先验分布： $\theta \sim \mathrm{U}(0,1)$，即先验密度为

$$ \pi(\theta) = 1, \quad 0 < \theta < 1. $$

似然函数： 对于几何分布，样本的联合概率质量函数为

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