问题 验证: 泊松分布的均值 $\lambda$ 的共轭先验分布是伽马分布. ## 答案 证明：泊松分布的概率质量函数为

\[ P(X = x \mid \lambda) = \frac{\lambda^{x}}{x!} e^{-\lambda}, \]

先验分布假设为伽玛分布，其概率密度函数为

\[ \pi(\lambda) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \lambda^{\alpha - 1} e^{-\beta \lambda}. \]

给定来自泊松分布的样本 $x_1, x_2, \dotsc, x_n$，联合似然函数为 [ L(\lambda)

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