问题 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽马分布（称 $X$ 服从倒伽马分布，如果 $1 / X$ 服从伽马分布)。 ## 答案 证明：设总体 $X \mid \sigma^{2} \sim N\left(\mu_{0}, \sigma^{2}\right)$，其中 $\mu_{0}$ 已知，$x_{1}, \dotsc, x_{n}$ 为来自该总体的样本。对方差 $\sigma^{2}$ 设定先验分布为倒伽玛分布 $\mathrm{IGa}(\alpha, \lambda)$，其密度函数为

$$ \pi\left(\sigma^{2}\right) = \frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \left( \frac{1}{\sigma^{2}} \right)^{\alpha + 1} e^{- \frac{\lambda}{\sigma^{2}} }, \quad \sigma^{2} > 0. $$

样本的似然函数为 $$ L\left( \sigma^{2} \mid x_{1}, \dotsc, x_{n} \right) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^{2}}} \exp\left{ -

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