问题 设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 是来自如下总体的一个样本

$$ p(x \mid \theta)=\frac{2 x}{\theta^{2}}, \quad 0 1. 若 $\theta$ 的先验分布为均匀分布 $U(0,1)$, 求 $\theta$ 的后验分布; 2. 若 $\theta$ 的先验分布为 $\pi(\theta)=3 \theta^{2}, 0<\theta<1$, 求 $\theta$ 的后验分布. ## 答案 (1) 当先验分布为均匀分布 $U(0,1)$ 时，先验密度为

$$ \pi(\theta) = I_{(0<\theta<1)}. $$

样本 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的联合似然函数为

$$ L(\theta; x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n p(x_i \mid \theta) = \prod_{i=1}^n \frac{2 x_i}{\theta^2} I_{(0 < x_i < \theta)} = \left( \frac{2}{\theta^2} \right)^n \prod_{i=1}^n x_i \cdot I_{(x_{(n)} < \theta)}, $$

其中 $x_{(n)} =

… Content truncated. Please enter passkey to view full content.