问题 设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 是来自如下总体的一个样本

$$ p(x \mid \theta)=\theta x^{\theta-1}, \quad 0 若取 $\theta$ 的先验分布为伽马分布, 即 $\theta \sim Ga(\alpha, \lambda)$, 求 $\theta$ 的后验期望估计. ## 答案 首先，给定样本 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 来自概率密度函数为 $p(x \mid \theta) = \theta x^{\theta -1}$（$0 < x < 1$）的分布。 先验分布为 $\theta \sim \operatorname{Gamma}(\alpha, \lambda)$，其概率密度函数为：

$$ \pi(\theta) = \frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \theta^{\alpha -1} e^{- \lambda \theta}. $$

因此，似然函数为：

$$ L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} p(x_i \mid \theta) = \prod_{i=1}^{n} \theta x_i^{\theta -1} = \theta^{n} \prod_{i=1}^{n} x_i^{\theta -1}. $$

将似然函数和先验分布相乘，得到联合分布的非标准化形式： $$ \begin{aligned} h(\theta \mid

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