问题 设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 是来自均匀分布 $U(0, \theta)$ 的样本, $\theta$ 的先验分布是帕累托分布, 其密度函数为 $\pi(\theta)=\frac{\beta \theta_{0}^{\beta}}{\theta^{\beta+1}}, \theta>\theta_{0}$, 其中 $\beta, \theta_{0}$ 是两个已知的常数. 1. 验证: 帕累托分布是 $\theta$ 的共轭先验分布; 2. 求 $\theta$ 的贝叶斯估计. ## 答案 (1) 验证帕累托分布是 $\theta$ 的共轭先验分布： 已知样本 $x_1, \ldots, x_n$ 来自均匀分布 $U(0, \theta)$，其似然函数为：

$$ L(\theta \mid x_1, \ldots, x_n) = \left( \frac{1}{\theta} \right)^n \cdot I\left\{ 0 \le x_i \le \theta \text{ 对所有 } i \right\} = \left( \frac{1}{\theta} \right)^n \cdot I\left\{ \theta \ge x_{(n)} \right\}, $$

其中 $x_{(n)} = \max\{ x_1, \ldots, x_n \}$。 先验分布为帕累托分布，其密度函数为： $$ \pi(\theta) = \frac{\beta \theta_0^\beta}{\theta^{\beta+1}} \cdot I\left{ \theta > \theta_0

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