问题 设总体 $(X)$ 的密度函数为

$$ p(x ; \theta)=\frac{1}{\pi\left[1+(x-\theta)^{2}\right]}, \quad-\infty $(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})$ 为抽自此总体的简单随机样本, 求位置参数 $\theta$ 的置信水平近似为 $1-\alpha$ 的置信区间. ## 答案 由于总体密度函数为

$$ p(x, \theta) = \frac{1}{\pi [1 + (x - \theta)^2]}, \quad -\infty < x < \infty, $$

这是关于位置参数 $\theta$ 的柯西分布，其分布关于 $\theta$ 对称，因此 $\theta$ 是总体中位数。 对于连续分布，总体中位数的样本中位数 $m_{0.5}$ 是 $\theta$

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