问题 设 $(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})$ 为抽自正态总体 $N(\mu, \sigma^{2})$ 的简单随机样本. 试证:

$$ [\bar{x}-(\mu+k \sigma)] /\left[\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}\right]^{1 / 2} $$

为枢轴量, 其中 $k$ 为已知常数. ## 答案 要证明：

$$ Q = \frac{\bar{x} - (\mu + k\sigma)}{\left[ \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \right]^{1/2}} $$

是一个枢轴量，其中 $k$ 为已知常数。 证明： 1. 样本均值的分布 由于 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 独立同分布于 $N(\mu, \sigma^2)$，则样本均值 $\bar{x}$ 服从正态分布：

$$ \bar{x} \sim N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right) $$

2. 样本方差的分布 定义样本方差：

$$ S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $$

则有： $$

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