问题 设 $(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})$ 是来自 $U(\theta-1 / 2, \theta+1 / 2)$ 的样本, 求 $\theta$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间 (提示:证明 $\frac{x_{(n)}+x_{(1)}}{2}-\theta$ 为枢轴量, 并求出对应的密度函数)。 ## 答案 设 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ 是来自均匀分布 $U\left(\theta - \dfrac{1}{2},\, \theta + \dfrac{1}{2}\right)$ 的样本。 为了求 $\theta$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间，我们需要构造一个关于 $\theta$ 的枢轴量。 注意到对于均匀分布，$\theta$ 出现在分布区间的端点上，因此可以考虑样本的最大值和最小值。 首先，定义 $Y_{i} = X_{i} - \theta$，则 $Y_{i} \sim U\left( -\dfrac{1}{2},\, \dfrac{1}{2} \right)$。 因此，$Y_{(1)} = X_{(1)} - \theta$ 和 $Y_{(n)} = X_{(n)} - \theta$ 分别是 $Y_i$ 的最小值和最大值，它们的分布与 $\theta$ 无关。 考虑统计量 $$ T = \frac{X_{(1)} +

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