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茆诗松统计学核心速通讲义 - 6.6区间估计 - 问题18

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问题 设 $(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m})$ i.i.d. $\sim U(0, \theta_{1}), y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}$ i.i.d $\sim U(0, \theta_{2}), \theta_{1}>0, \theta_{2}>0$ 皆未知, 且两样本独立. 求 $\frac{\theta_{1}}{\theta_{2}}$ 的一个置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间(提示:令 $T_{1}=x_{(m)}, T_{2}=y_{(n)}$, 证明 $\frac{T_{2}}{T_{1}} \frac{\theta_{1}}{\theta_{2}}$ 的分布与 $\theta_{1}, \theta_{2}$无关, 并求出对应的密度函数). ## 答案 设 $x_{(m)} = \max\{ x_1, x_2, \dotsc, x_m \}$$y_{(n)} = \max\{ y_1, y_2, \dotsc, y_n \}$ 为两个独立样本的最大值。 由于 $x_i \sim U(0, \theta_1)$ 独立同分布,$x_{(m)}$ 的累积分布函数(CDF)为

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