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茆诗松统计学核心速通讲义 - 6.6区间估计 - 问题19

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问题 设总体 $(X)$ 的密度函数为
$$ p(x, \theta)=\mathrm{e}^{-(x-\theta)} I_{|x>\theta|}, \quad-\infty<\theta<\infty $$
$(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})$ 为抽自此总体的简单随机样本. 1. 证明: $x_{(1)}-\theta$ 的分布与 $\theta$ 无关, 并求出此分布; 2. 求 $\theta$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间。 ## 答案 (1) 令 $y_i = x_i - \theta,\quad i = 1,2,\dots,n$,则由于 $x_i$ 的密度函数为:
$$ f(x_i, \theta) = e^{-(x_i - \theta)} I_{[x_i > \theta]} $$
所以 $y_i$ 的密度函数为:
$$ g(y_i) = e^{-y_i} I_{[y_i > 0]} $$

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