问题 设 \(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\) 是来自泊松分布 \(P(\lambda)\) 的样本,证明: \(\lambda\) 的近似 \(1-\alpha\) 置信区间为

\[ \left[\frac{2 \bar{x}+\frac{1}{n} u_{1-\alpha / 2}^{2}-\sqrt{\left(2 \bar{x}+\frac{1}{n} u_{1-\alpha / 2}^{2}\right)^{2}-4 \bar{x}^{2}}}{2}, \frac{2 \bar{x}+\frac{1}{n} u_{1-\alpha / 2}^{2}+\sqrt{\left(2 \bar{x}+\frac{1}{n} u_{1-\alpha / 2}^{2}\right)^{2}-4 \bar{x}^{2}}}{2}\right] \]

## 答案 由于 \(x_1, x_2, \dotsc, x_n\) 是来自泊松分布 \(\mathrm{P}(\lambda)\) 的独立同分布样本，其样本均值为 \(\bar{x}\)。泊松分布的均值和方差均为 \(\lambda\)，因此： [

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