问题 设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是来自 $N(\mu, 1)$ 的样本, 考虑如下假设检验问题

$$ H_0: \mu=2 \quad \text { vs } \quad H_1: \mu=3, $$

若检验由拒绝域为 $W=\{\bar{x} \geqslant 2.6\}$ 确定. 1. 当 $n=20$ 时求检验犯两类错误的概率; 2. 如果要使得检验犯第二类错误的概率 $\beta \leqslant 0.01, n$ 最小应取多少? 3. 证明：当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\alpha \rightarrow 0, \beta \rightarrow 0$ 。 ## 答案 (1) 当 $n=20$ 时，第一类错误的概率为

$$ \alpha = P\left(\bar{x} \geq 2.6 \mid H_0\right). $$

在原假设 $H_0$ 下，样本均值 $\bar{x}$ 的分布为

$$ \bar{x} \sim N\left( \mu=2, \ \sigma^2=\frac{1}{n} \right) = N\left(2, \ \frac{1}{20}\right). $$

因此， $$ \alpha = P\left( \bar{x} \geq 2.6 \mid H_0 \right) = P\left( \frac{\bar{x} - 2}{\sqrt{1/20}} \geq \frac{2.6 - 2}{\sqrt{1/20}}

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