问题 设 $x_1, x_2, \cdots, x_{16}$ 是来自正态总体 $N(\mu, 4)$ 的样本, 考虑检验问题

$$ H_0: \mu=6 \quad \text { vs } \quad H_1: \mu \neq 6, $$

拒绝域取为 $W=\{|\bar{x}-6| \geqslant c\}$, 试求 $c$ 使得检验的显著性水平为 0.05 , 并求该检验在 $\mu=6.5$ 处犯第二类错误的概率。 ## 答案 首先，在原假设 $H_0:\mu=6$ 下，样本均值 $\bar{x}$ 的分布为：

$$ \bar{x} \sim N\left(6, \frac{\sigma^2}{n}\right) = N\left(6, \frac{4}{16}\right) = N(6, 0.25). $$

检验的显著性水平为 $\alpha = 0.05$，拒绝域为 $W = \{ |\bar{x} - 6| \geq c \}$，因此有： $$ P\left( |\bar{x} -6| \geq c \mid \mu=6

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