问题 设一个单一观测的样本 $x$ 取自密度函数为 $p(x)$ 的总体, 对 $p(x)$ 考虑统计假设

$$ H_0: p_0(x)=I_{|0,1|}(x) \quad \text { vs } \quad H_1: p_1(x)=2 x I_{|0,1|}(x). $$

若其拒绝域的形式为 $W=\{x: x \geqslant c\}$，试确定一个 $c$，使得犯第一类、第二类错误的概率满足 $\alpha+2 \beta$ 为最小, 并求其最小值。 ## 答案 在零假设 $H_{0}$ 下，概率密度函数(pdf)为

$$ p_{0}(x) = I_{[0,1]}(x), $$

表示区间 $[0,1]$ 上的均匀分布。 在备择假设 $H_{1}$ 下，概率密度函数为

$$ p_{1}(x) = 2x\, I_{[0,1]}(x), $$

表示区间 $[0,1]$ 上的三角形分布。 给定拒绝域 $W = \{ x \mid x \geq c \}$，第一类错误概率（显著性水平）为

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