正态总体参数假设检验 #### 单个正态总体均值的检验 设 \(\boldsymbol{X} = \left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)\) 是来自正态分布 \(N\left(\mu, \sigma^{2}\right)\) 的样本，考虑以下三种关于均值 \(\mu\) 的假设检验问题：

$$ \begin{array}{ll} \text{I} & H_{0}: \mu \leqslant \mu_{0} \quad \text{vs} \quad H_{1}: \mu > \mu_{0}, \\ \text{II} & H_{0}: \mu \geqslant \mu_{0} \quad \text{vs} \quad H_{1}: \mu < \mu_{0}, \\ \text{III} & H_{0}: \mu = \mu_{0} \quad \text{vs} \quad H_{1}: \mu \neq \mu_{0}, \end{array} $$

其中 \(\mu_{0}\) 为已知常数。由于正态分布涉及两个参数，总体方差 \(\sigma^{2}\) 是否已知会影响检验方法。下面分 \(\sigma\) 已知与否两种情况讨论。 ##### \(\sigma = \sigma_{0}\) 已知时的 \(u\) 检验 对于检验问题 I，因 \(\mu\) 的点估计为样本均值 \(\bar{x}\)，且 \(\bar{x} \sim N\left(\mu, \sigma_{0}^{2} / n\right)\)，故选用检验统计量

$$ u = \frac{\bar{x} - \mu_{0}}{\sigma_{0} / \sqrt{n}} $$

是恰当的。直觉认为，当 \(\bar{x}\) 超过 \(\mu_{0}\) 到一定程度时，才应拒绝原假设，因此存在一个临界值 \(c\)，拒绝域为

$$ W_{\mathrm{I}} = \left\{ \boldsymbol{X} : u \geqslant c \right\}. $$

若显著性水平为 \(\alpha\)，则 \(c\) 满足

$$ P_{\mu_{0}}(u \geqslant c) \leq \alpha, \quad \forall \mu \leqslant \mu_{0}. \quad \text{或}\quad P_{\mu_{0}}(u \geqslant c) = \alpha, \quad \mu = \mu_{0}. $$

由于在 \(H_{0}: \mu = \mu_{0}\) 下，\(u \sim N(0,1)\)，故 \(c = u_{1-\alpha}\)，拒绝域为 \(\{u \geqslant u_{1-\alpha}\}\)（见图7.2.1(a)）。 图略。 Remark: 势函数 \(g(\mu)\) 表示在给定参数 \(\mu\) 时，检验拒绝原假设的概率。对于单侧检验 I，其势函数为

$$ g(\mu) = P_{\mu}(u \geqslant u_{1-\alpha}) = 1 - \Phi\left( \sqrt{n}\frac{\mu_{0} - \mu}{\sigma_{0}} + u_{1-\alpha} \right), $$

其中 \(\Phi\) 为标准正态分布函数。势函数是参数 \(\mu\) 的增函数，且 \(g(\mu_{0}) = \alpha\)，从而保证当 \(\mu \leqslant \mu_{0}\) 时，\(g(\mu) \leqslant \alpha\)。 图略。 Definition [\(u\) 检验]: 当 \(\sigma\) 已知时，检验单个正态总体均值 \(\mu\) 的假设检验称为\(u\) 检验。根据不同的备择假设，拒绝域和 \(p\) 值的计算方式如下：

$$ \begin{array}{lll} \text{I} & H_{0}: \mu \leqslant \mu_{0} \quad vs \quad H_{1}: \mu > \mu_{0} & \begin{cases} \text{检验统计量} & u = \dfrac{\bar{x} - \mu_{0}}{\sigma_{0} / \sqrt{n}}, \\ \text{拒绝域} & \{u \geqslant u_{1-\alpha}\}, \\ p\text{值} & 1 - \Phi(u_{0}). \end{cases} \\ \text{II} & H_{0}: \mu \geqslant \mu_{0} \quad vs \quad H_{1}: \mu < \mu_{0} & \begin{cases} \text{检验统计量} & u = \dfrac{\bar{x} - \mu_{0}}{\sigma_{0} / \sqrt{n}}, \\ \text{拒绝域} & \{u \leqslant u_{\alpha}\}, \\ p\text{值} & \Phi(u_{0}). \end{cases} \\ \text{III} & H_{0}: \mu = \mu_{0} \quad vs \quad H_{1}: \mu \neq \mu_{0} & \begin{cases} \text{检验统计量} & u = \dfrac{\bar{x} - \mu_{0}}{\sigma_{0} / \sqrt{n}}, \\ \text{拒绝域} & \{|u| \geqslant u_{1-\alpha / 2}\}, \\ p\text{值} & 2\left(1 - \Phi\left(|u_{0}|\right)\right). \end{cases} \end{array} $$

Example [例7.2.1]: 从甲地发送一个信号到乙地，乙地接收到的信号值 \(X \sim N\left(\mu, 0.2^{2}\right)\)，其中 \(\mu\) 为甲地发送的真实信号值。甲地重复发送同一信号 5 次，乙地接收到的信号值为

$$ 8.05, \quad 8.15, \quad 8.2, \quad 8.1, \quad 8.25. $$

设原假设 \(H_{0}: \mu = 8\)，备择假设 \(H_{1}: \mu \neq 8\)，显著性水平 \(\alpha = 0.05\)。进行双侧 \(u\) 检验： 1. 计算样本均值 \(\bar{x} = 8.15\)。 2. 计算检验统计量：

$$ u_{0} = \frac{\sqrt{5}(\bar{x} - 8)}{0.2} = \frac{\sqrt{5} \times 0.15}{0.2} \approx 1.68. $$

3. 查标准正态分布表，\(u_{1-\alpha / 2} = u_{0.975} = 1.96\)。 4. 判断 \(|u_{0}| = 1.68 < 1.96 \)，故不拒绝原假设。 或者计算 \(p\) 值：

$$ p = 2\left(1 - \Phi(1.68)\right) \approx 0.093 > 0.05, $$

因此，同样不能拒绝原假设。 ##### \(\sigma\) 未知时的 \(t\) 检验 当 \(\sigma\) 未知时，无法直接使用 \(u\) 检验。于是引入\(t\) 检验，检验统计量为

$$ t = \frac{\sqrt{n}(\bar{x} - \mu_{0})}{s}, $$

其中 \(s\) 为样本标准差。在 \(H_{0}: \mu = \mu_{0}\) 下，\(t \sim t(n-1)\)，故检验问题 I 的拒绝域为

$$ W_{\mathrm{I}} = \left\{ t \geqslant t_{1-\alpha}(n-1) \right\}. $$

Definition [\(t\) 检验]: 当 \(\sigma\) 未知时，检验单个正态总体均值 \(\mu\) 的假设检验称为\(t\) 检验。根据不同的备择假设，拒绝域和 \(p\) 值的计算方式如下：

$$ \begin{array}{lll} \text{I} & H_{0}: \mu \leqslant \mu_{0} \quad vs \quad H_{1}: \mu > \mu_{0} & \begin{cases} \text{检验统计量} & t = \dfrac{\bar{x} - \mu_{0}}{s / \sqrt{n}}, \\ \text{拒绝域} & \{t \geqslant t_{1-\alpha}(n-1)\}, \\ p\text{值} & P(t \geqslant t_{0}). \end{cases} \\ \text{II} & H_{0}: \mu \geqslant \mu_{0} \quad vs \quad H_{1}: \mu < \mu_{0} & \begin{cases} \text{检验统计量} & t = \dfrac{\bar{x} - \mu_{0}}{s / \sqrt{n}}, \\ \text{拒绝域} & \{t \leqslant t_{\alpha}(n-1)\}, \\ p\text{值} & P(t \leqslant t_{0}). \end{cases} \\ \text{III} & H_{0}: \mu = \mu_{0} \quad vs \quad H_{1}: \mu \neq \mu_{0} & \begin{cases} \text{检验统计量} & t = \dfrac{\bar{x} - \mu_{0}}{s / \sqrt{n}}, \\ \text{拒绝域} & \{|t| \geqslant t_{1-\alpha / 2}(n-1)\}, \\ p\text{值} & P(|t| \geqslant |t_{0}|). \end{cases} \end{array} $$

Example [例7.2.2]: 某厂生产的铝材长度服从正态分布，\(\mu = 240\) cm。抽取5件产品，测得长度为

$$ 239.7, \quad 239.6, \quad 239, \quad 240, \quad 239.2 \quad \text{cm}. $$

设原假设 \(H_{0}: \mu = 240\)，备择假设 \(H_{1}: \mu \neq 240\)，显著性水平 \(\alpha = 0.05\)，进行双侧 \(t\) 检验： 1. 计算样本均值 \(\bar{x} = 239.5\) cm，样本标准差 \(s = 0.4\) cm。 2. 计算检验统计量：

$$ t_{0} = \frac{\sqrt{5}(239.5 - 240)}{0.4} \approx -2.795. $$

3. 查 \(t\) 分布表，自由度 \(df = 4\)，\(t_{1-\alpha / 2}(4) \approx 2.7764\)。 4. 判断 \(|t_{0}| = 2.795 > 2.7764\)，故拒绝原假设。 或者计算 \(p\) 值：

$$ p = 2P(t \geqslant 2.795) \approx 0.0491 < 0.05, $$

因此，拒绝原假设，认为该厂铝材长度不满足设定要求。 Definition [表格]: 以下表格总结了在已知与未知总体方差情况下，单个正态总体均值的三种假设检验（I, II, III）的检验统计量、拒绝域以及 \(p\) 值的计算方法。对于双侧检验，使用 \(u\) 或 \(t\) 检验时，拒绝域位于两侧；而单侧检验则位于一侧。 | 检验法 | \(H_{0}\) | \(H_{1}\) | 检验统计量 | 拒绝域 | \(p\) 值 | |—|—|—|—|—|—| | \(\mathbf{u}\) 检验 (\(\sigma = \sigma_{0}\) 已知) | \(\mu \leqslant \mu_{0}\) | \(\mu > \mu_{0}\) | \(u = \dfrac{\bar{x} - \mu_{0}}{\sigma_{0} / \sqrt{n}}\) | \(\{u \geqslant u_{1-\alpha}\}\) | \(1 - \Phi(u_{0})\) | | | \(\mu \geqslant \mu_{0}\) | \(\mu < \mu_{0}\) | \(u = \dfrac{\bar{x} - \mu_{0}}{\sigma_{0} / \sqrt{n}}\) | \(\{u \leqslant u_{\alpha}\}\) | \(\Phi(u_{0})\) | | | \(\mu = \mu_{0}\) | \(\mu \neq \mu_{0}\) | \(u = \dfrac{\bar{x} - \mu_{0}}{\sigma_{0} / \sqrt{n}}\) | \(|u| \geqslant u_{1-\alpha / 2}\) | \(2\left(1 - \Phi(|u_{0}|)\right)\) | | \(\mathbf{t}\) 检验 (\(\sigma\) 未知) | \(\mu \leqslant \mu_{0}\) | \(\mu > \mu_{0}\) | \(t = \dfrac{\bar{x} - \mu_{0}}{s / \sqrt{n}}\) | \(\{t \geqslant t_{1-\alpha}(n-1)\}\) | \(P(t \geqslant t_{0})\) | | | \(\mu \geqslant \mu_{0}\) | \(\mu < \mu_{0}\) | \(t = \dfrac{\bar{x} - \mu_{0}}{s / \sqrt{n}}\) | \(\{t \leqslant t_{\alpha}(n-1)\}\) | \(P(t \leqslant t_{0})\) | | | \(\mu = \mu_{0}\) | \(\mu \neq \mu_{0}\) | \(t = \dfrac{\bar{x} - \mu_{0}}{s / \sqrt{n}}\) | \(|t| \geqslant t_{1-\alpha / 2}(n-1)\) | \(P(|t| \geqslant |t_{0}|)\) | Remark: 本表总结了在已知与未知总体方差情况下，单个正态总体均值的三种假设检验（I, II, III）的检验统计量、拒绝域以及 \(p\) 值的计算方法。对于双侧检验，使用 \(u\) 或 \(t\) 检验时，拒绝域位于两侧；而单侧检验则位于一侧。 Remark: 在实际应用中，常见的检验问题如 IV 和 V 可归结为检验问题 I 和 II 进行处理，因为它们的拒绝域和 \(p\) 值计算方式相同。因此，在分析中通常无需单独处理这些情况。 #### 假设检验与置信区间的关系 假设检验中使用的检验统计量与置信区间所用的枢轴量非常相似，这并非偶然。两者之间存在密切的对应关系。以下以 \(\sigma\) 未知的场合为例进行说明。 设 \(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\) 是来自正态总体 \(N\left(\mu, \sigma^{2}\right)\) 的样本，讨论在 \(\sigma\) 未知的情况下关于均值 \(\mu\) 的假设检验问题。主要分为三种情况： 1. 双侧检验问题 III： 2. 单侧检验问题 I： 3. 单侧检验问题 II： Remark [假设检验与置信区间的对应关系]: 在 \(\sigma\) 未知的情况下，显著性水平为 \( \alpha \) 的假设检验与 \(\mu\) 的 \(1 - \alpha\) 置信区间之间存在一一对应关系： 1. 对于双侧检验 \( H_{0}: \mu = \mu_{0} \) vs \( H_{1}: \mu \neq \mu_{0} \): - 如果 \(\mu_{0}\) 落在 \(1 - \alpha\) 置信区间 \(\left[\bar{x} \pm \frac{s}{\sqrt{n}} t_{1-\alpha / 2}(n-1)\right]\) 内，则不拒绝原假设。 - 如果 \(\mu_{0}\) 不在该置信区间内，则拒绝原假设。 2. 对于单侧检验 \( H_{0}: \mu \leqslant \mu_{0} \) vs \( H_{1}: \mu > \mu_{0} \): -

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