问题 设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 为取自两点分布 $b(1, p)$ 的随机样本。 （1）试求单侧假设检验问题 $H_{0}: p \leqslant 0.01$ vs $H_{1}: p>0.01$ 的显著性水平 $\alpha=0.05$ 的检验； （2）若要这个检验在 $p=0.08$ 时犯第二类错误的概率不超过0.10，样本容量 $n$ 应为多大？ ## 答案 (1) 由于每个 $x_i$ 是参数为 $p$ 的伯努利随机变量，样本和 $S = \sum_{i=1}^{n} x_i$ 服从参数为 $n$ 和 $p$ 的二项分布，即 $S \sim \text{Bin}(n, p)$。 我们要检验的假设为：

$$ \begin{cases} H_0: p \leq 0.01, \\ H_1: p > 0.01. \end{cases} $$

显著性水平为 $\alpha = 0.05$。

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