问题 设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为来自 $b(1,p)$ 的样本, 试求假设 $H_0: p=p_0$ vs $H_1: p \neq p_0$ 的似然比检验. ## 答案 给定 $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ 是来自伯努利分布 $\operatorname{Bernoulli}(p)$ 的独立同分布随机变量，其概率质量函数为

$$ P(X_i = x_i) = p^{x_i} (1 - p)^{1 - x_i}, \quad x_i = 0, 1. $$

样本的联合似然函数为

$$ L(p) = \prod_{i=1}^{n} p^{x_i} (1 - p)^{1 - x_i} = p^{\sum_{i=1}^{n} x_i} (1 - p)^{n - \sum_{i=1}^{n} x_i}. $$

我们要检验假设 $H_0: p = p_0$ 对 $H_1: p \neq p_0$，其中 $0 < p_0 < 1$。 在零假设 $H_0$ 下，参数空间为 $\Theta_0 = \{ p \mid p = p_0 \}$，在备择假设 $H_1$ 下，参数空间为 $\Theta = \{ p \mid 0 < p < 1 \}$。 在 $H_0$ 下，似然函数在 $p = p_0$ 处的取值为： $$ L(p_0) = p_0^{\sum x_i} (1 - p_0)^{n - \sum x_i}.

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