问题 设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为来自 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本, 试求假设 $H_0: \sigma^2=\sigma_0^2$ vs $H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2$ 的似然比检验. ## 答案 设 $\theta = (\mu, \sigma^2)$，则样本的联合密度函数为

$$ L(x_1, \dotsc, x_n; \theta) = (2\pi \sigma^2)^{-n/2} \exp\left\{ -\dfrac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \right\} $$

两个参数空间分别为

$$ \Theta_0 = \left\{ (\mu, \sigma_0^2) \mid \mu \in \mathbb{R} \right\}, \quad \Theta = \left\{ (\mu, \sigma^2) \mid \mu \in \mathbb{R}, \sigma^2 > 0 \right\} $$

首先，求出在

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