问题 设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为来自指数分布 $\operatorname{Exp}(\lambda_1)$ 的样本，$y_1, y_2, \cdots, y_m$ 为来自指数分布 $\operatorname{Exp}(\lambda_2)$ 的样本, 且两组样本独立, 其中 $\lambda_1, \lambda_2$ 是未知的正参数. 1. 求假设 $H_0: \lambda_1=\lambda_2$ vs $H_1: \lambda_1 \neq \lambda_2$ 的似然比检验； 2. 证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值 $\sum_{i=1}^n x_i / \sum_{i=1}^m y_i$; 3. 求统计量 $\sum_{i=1}^n x_i / \sum_{i=1}^m y_i$ 在原假设成立下的分布. ## 答案 (1) 似然比检验 样本的联合概率密度函数（pdf）为：

$$ L(\lambda_1, \lambda_2) = \prod_{i=1}^n \lambda_1 e^{-\lambda_1 x_i} \prod_{j=1}^m \lambda_2 e^{-\lambda_2 y_j} = \lambda_1^n e^{ -\lambda_1 \sum_{i=1}^n x_i } \lambda_2^m e^{ -\lambda_2 \sum_{j=1}^m y_j } $$

考虑两种情况： - 在原假设 $H_0: \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$ 下，参数空间为 $\Theta_0 = \{ \lambda > 0 \}$。 - 在备择假设 $H_1: \lambda_1 \ne \lambda_2$ 下，参数空间为 $\Theta = \{ (\lambda_1, \lambda_2) \mid \lambda_1 > 0, \lambda_2 > 0 \}$。 首先，我们求在

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