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茆诗松统计学核心速通讲义 - 7.4似然比检验与分布拟合检验 - 问题4

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问题 设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的 i.i.d. 样本, 其中 $\mu, \sigma^2$ 未知. 证明关于假设 $H_0: \mu \leqslant \mu_0$ vs $H_1: \mu>\mu_0$ 的单侧 $t$ 检验是似然比检验(显著性水平 $\alpha<1/2$)。 ## 答案 证明:$\theta = (\mu, \sigma^2)$,则样本的联合密度函数为
$$ L(\theta) = p(x_1, \cdots, x_n; \theta) = (2\pi \sigma^2)^{-n/2} \exp\left\{ -\dfrac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \right\}. $$
假设的参数空间分别为 $$ \Theta_0 = { (\mu, \sigma^2) \mid \mu \leq \mu_0,, \sigma^2 > 0 }, \quad \Theta = { (\mu, \sigma^2) \mid \mu \in \mathbb{R},, \sigma^2

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