问题 在一批灯泡中抽取 300 只作寿命试验, 其结果如下: | 寿命 (h) | $<100$ | $[100,200)$ | $[200,300)$ | $\geqslant 300$ | |–––––|———|———––|———––|—————–| | 灯泡数 | 121 | 78 | 43 | 58 | 在显著性水平为 0.05 下能否认为灯泡寿命服从指数分布 $\operatorname{Exp}(0.005)$? ## 答案 要检验灯泡寿命是否服从参数为 $\lambda=0.005$ 的指数分布，即检验：

$$ \begin{cases} H_0:\; X \sim \operatorname{Exp}(0.005) \\ H_1:\; X \text{ 不服从 } \operatorname{Exp}(0.005) \end{cases} $$

根据原假设，计算各区间的理论概率和期望频数。令随机变量 $X$ 表示灯泡的寿命，其累积分布函数为：

$$ F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x} $$

因此，各区间的理论概率为： $$

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