问题 某种岩石中的一种元素的含量在25个样本中为： 0.32 0.25 0.29 0.25 0.28 0.30 0.23 0.23 0.40 0.32 0.35 0.19 0.34 0.27 0.31 0.28 0.24 0.31 0.26 0.31 0.33 0.27 0.28 0.25 0.29 有人认为该样本来自对数正态分布总体，请设法用$W$检验方法作检验（$\alpha=0.05$）。 ## 答案 为了检验样本是否来自对数正态分布，总体需要对数据进行对数变换，使变换后的数据服从正态分布。设：

$$y = \ln x$$

将25个观测值取对数后，得到新的数据集$\{y_i\}_{i=1}^{25}$。计算样本均值和样本方差：

$$\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i = -1.28, \quad S^2 = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 = 0.8360$$

为了检验$\{y_i\}$是否来自正态分布，我们采用Shapiro-Wilk检验方法。Shapiro-Wilk检验统计量定义为：

$$W = \dfrac{\left( \sum_{k=1}^m a_k ( y_{(n-k+1)} - y_{(k)} ) \right)^2}{\sum_{i=1}^n ( y_i - \bar{y} )^2}$$

其中： - $y_{(1)} \leq y_{(2)}

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