哈特利检验 #### 方差齐性 方差齐性 在单因子试验中，$r$ 个水平的指标可以用 $r$ 个正态分布 $N(\mu_i, \sigma_i^2)$ $(i=1,2,\cdots,r)$ 表示。方差齐性要求这 $r$ 个方差相等。这种齐性并非自然具有。 #### 方差齐性的的重要性 方差齐性的的重要性 理论研究表明： - $F$ 检验对正态性的偏离具有一定的稳健性 - $F$ 检验对方差齐性的偏离较为敏感 - 因此，方差齐性检验在进行方差分析前十分必要 #### 方差齐性检验的假设

\[ H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \cdots = \sigma_r^2 \quad \text{vs} \quad H_1: \text{诸 } \sigma_i^2 \text{ 不全相等} \]

#### 常用的检验方法 常用的检验方法 统计学家提出了多种检验方法： - 哈特利检验 (Hartley test)：仅适用于样本量相等的场合 - 巴特利特检验 (Bartlett test)：可用于样本量相等或不等的场合，但每个样本量不得低于5 - 修正的巴特利特检验：在样本量较小或较大、相等或不等场合均可使用 #### 哈特利检验统计量 哈特利检验统计量 当各水平下试验重复次数相等 ($m_1 = m_2 = \cdots = m_r = m$) 时，哈特利检验统计量为：

\[ H = \frac{\max\{s_1^2, s_2^2, \cdots, s_r^2\}}{\min\{s_1^2, s_2^2, \cdots, s_r^2\}} \]

其中 $s_i^2$ 为第 $i$ 个样本的方差。 #### 哈特利统计量的特点 哈特利统计量的特点 - 该统计量的分布尚无明显的表达式 - 在诸方差相等条件下，可通过随机模拟方法获得 $H$ 分布的分位数 - 分布依赖于水平数 $r$ 和样本方差的自由度 $f = m - 1$ - 可记为 $H(r, f)$ 分布 - 当 $H_0$ 成立时，$H$ 的值应接近于1 - $H$ 值越大，诸方差间的差异越大 #### 拒绝域 对给定的显著性水平 $\alpha$，检验的拒绝域为：$H_{1-\alpha}(r, f)$ 为 $H$ 分布的 $1-\alpha$ 分位数，可查附表10获得。

\[ W = \{H \geq H_{1-\alpha}(r, f)\} \]

#### 示例：防锈剂比较实验 防锈剂比较实验 比较四种不同牌号防锈剂的防锈能力： - 样本：40个相同铁块随机分为4组，每组10件 - 评分方法：5位专家独立评分，无锈迹100分，全锈0分 - 每个样品的得分：5位专家评分的平均值 计算得到四个样本方差： [ \begin{align*} s_1^2 &= \frac{81.00}{9} = 9.00, & s_2^2 &= \frac{44.28}{9} = 4.92 \

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