问题 假设回归直线过原点，考虑一元线性回归模型：

\[ y_i = \beta x_i + \varepsilon_i, \quad i=1,2,\cdots,n \]

其中 $E(\varepsilon_i)=0$，$\operatorname{Var}(\varepsilon_i)=\sigma^2$，诸观测值相互独立。 (1) 求 $\beta$ 的最小二乘估计和 $\sigma^2$ 的无偏估计； (2) 对给定的 $x_0$，求其对应的因变量均值估计 $\hat{y}_0$ 的方差 $\operatorname{Var}(\hat{y}_0)$。 ## 答案 (1) 由最小二乘原理，令

\[ Q = \sum_{i=1}^{n} \left( y_i - \beta x_i \right)^2, \]

对 $\beta$ 求导并令导数为零，得到正规方程：

\[ \left. \frac{\partial Q}{\partial \beta} \right|_{\hat{\beta}} = -2 \sum_{i=1}^{n} \left( y_i - \hat{\beta} x_i \right) x_i = 0. \]

解得 $\beta$ 的最小二乘估计为

\[ \hat{\beta} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} x_i y_i }{ \sum_{i=1}^{n} x_i^2 }. \]

由于

\[ E( y_i ) = \beta x_i, \]

所以 [ E( \hat{\beta} ) = \frac{ \sum_{i=1}^{n} x_i E( y_i ) }{ \sum_{i=1}^{n} x_i^2 } = \frac{ \sum_{i=1}^{n} x_i \beta x_i }{ \sum_{i=1}^{n}

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